在现代物理学课程中，我意识到了理解形状的重要性，它们为有趣的物理学提供了舞台，决定了任何物理系统的对称性和动态性。形状是任何几何物体，在物理学中，它们往往是光滑的。

这篇文章将讨论流形。流形是一种形状，在物理学中因其“友好”的特性而被反复使用。也就是说，它们允许我们在其任何地方定义一组坐标。此外，流形可以在其表面编码有用的信息。这些信息对于理解物体为什么会以这样的方式运动至关重要。

流形的使用在现代物理学中无处不在。广义相对论这样的几何密集型学科更是以深入研究流形为基础，粒子物理学中也经常出现流形的身影。

但是，首先，我们要谈的是最直接的形状——开放空间。

我们在高中学习的物理学可能涉及最基本的形状——开放空间。当我们说开放空间时，指的是一个延伸到无限大的二维或三维空间。在三维的情况下，这就像一个宇航员在太空中，周围什么都没有。这种开放空间被称为 "欧几里得空间"。数学家称二维开放空间为R^2，三维开放空间为R^3。R代表实数，而2或3代表在空间中定位一个位置需要的坐标数。

被称为欧氏空间，是因为因为我们可以很容易地用欧氏度规测量任意两点之间的距离。例如，如果A点和B点之间的距离是x轴上的x，y轴上的y和z轴上的z，那么这两点之间距离的平方就是x^2+y^2+z^2。

欧氏空间的概念对我们至关重要，因为数学家可以通过它很容易构建一套坐标，唯一地定义空间中任何一点的位置。

什么是流形？

上面的问题把我们带到了流形的话题。流形是一种几何形状，在局部，它看起来像一维、二维、三维或任何维度的 "开放空间"。局部这个词与全局相对，后者意味着 "作为一个整体来看"。局部和全局之间的这种区别是至关重要的，我将通过一个例子说明。

一个站在球体表面的人的例子是最简单的。我们知道，球体作为一个整体看起来并不像一个开放的空间，所以从全局来看，它看起来并不像R^2或R^3。然而，当我们看一个具体的点时，这个结论是否仍然正确呢？我们在地球上，周围的空间似乎很平坦。如果环顾四周，看起来我就像站在一个平坦的二维表面上，这就是为什么最初很容易相信世界是平的。所以，在局部，在球体的任何一点周围的区域，看起来像R^2。因此，在三维空间中，流形M是一个形状，从一个站在其表面的生物的角度看，它看起来像一个 "平面"。

在这个流形上的每一个 "邻域"，一些映射将一个点周围的区域变得像一个开放空间。如果这个开放空间的维度为n，那么一个物体就被称为n维流形。例如，虽然球体是一个三维物体，但其表面上任何一点的平坦区域在局部看来只像一个二维的平面。因此，我们说，球面是一个二维流形。同样地，一个圆周看起来像一个一维流形，因为圆周的任何局部看起来都像一条线。

在地球上的任何一点，我都可以构建一个局部的坐标集。

为什么要花大力气去定义这样一个对象呢？能够将局部区域映射到开放空间，使我们能够坚持一套坐标来确定自己的方向。例如，我现在在上海某个位置。如果我想去北京旅游，我可以拿出一张地图，地图有一个坐标系统，告诉我怎么到达北京。这种在地球上任意一点定义坐标的特点使球体成为流形。

有很多不是流形的例子。例如，以一个正方体为例。虽然立方体上的面在局部上像R^2，但在立方体的四角有一个问题。如果你碰巧站在四角，就没有办法顺利地构建一个坐标系，使这个形状看起来像一个平面空间。

在数学中，有大量关于确定一个对象何时为流形的研究。同样，这也很重要，因为我们经常需要了解在物理学中何时可以放置一组坐标。例如，数学中有一连串的证明和嵌入定理，决定了空间中的一条曲线是否是一个“合法”的流形。这些问题启发了纳什嵌入定理。

我们能用流形做什么？李群和切线矢量（Lie Groups and Tangent Vectors）

文章来源：《现代食品》 网址: http://www.xdspzz.cn/zonghexinwen/2021/0929/1142.html